椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点，且OP垂直OQ，其中0为坐标原点

解：

把x+y=1代入x^2/a^2+y^2/b^2=1

（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2-b^2=0

X1+X2=2a^2/(a^2+b^2) X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2

OP.OQ=0=>X1X2+Y1Y2=0=>2a^2b^2=a^2+b^2

1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 （*）

√3/3<=e<=√2/2

1/3<=e^2=1-b^2/a^2<=1/2

2/3>=b^2/a^2>=1/2

i) b^2/a^2=1/2 时
代入（*）
得a=√6/2

ii) b^2/a^2=2/3 时

代入（*）
得a=√5/2

椭圆长轴的取值范围 [√5,√6]

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）
∵y1=1-x1，y2=1-x2
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0 ①
又将y=1-x
代入x^2 \ a^2 +y^2\ b^2=1
可得（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2（1-b^2）=0
∵ △＞0
∴ x1+x2=2a^2 \ a^2+b^2
x1x2=a^2(1-b^2) \ a^2+b^2 （4分）
代入①化简得
1 \a^2+1\ b^2 =2．（6分）
（2） ∵e2=c^2\ a^2 =1-b^2 \a^2